feat: add 高精度

Author: tonngw

AcWing 算法基础课/第一章 基础算法/04_高精度/791. 高精度加法.md

@@ -0,0 +1,137 @@
+### 题目描述
+给定两个正整数（不含前导 $0$），计算它们的和。
+
+#### 输入格式
+
+共两行，每行包含一个整数。
+
+#### 输出格式
+
+共一行，包含所求的和。
+
+#### 数据范围
+
+$1 \le 整数长度 \le 100000$
+
+#### 输入样例：
+
+    12
+    23
+
+
+#### 输出样例：
+
+    35
+
+---
+### 算法
+
+高精度加法模板题
+
+时间复杂度: $O(n)$，$n$ 是两个数字的长度最大值。
+
+空间复杂度: $O(n)$
+#### C++ 代码
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+using namespace std;
+
+vector<int> add(vector<int>& A, vector<int>& B)
+{
+    vector<int> C;
+    int t = 0;
+    
+    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size() || t; i ++ ) {
+        if (i < A.size()) t += A[i];
+        if (i < B.size()) t += B[i];
+        C.push_back(t % 10);
+        t /= 10;
+    }
+    
+    return C;
+}
+
+int main()
+{
+    string a, b;
+    cin >> a >> b;
+
+    vector<int> A, B;
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
+    
+    auto C = add(A, B);
+    
+    string res;
+    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) res += to_string(C[i]);
+    cout << res << endl;
+    
+    return 0;
+}
+```
+注释版
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+using namespace std;
+
+// C = A + B
+// &：表示传入的是原 vector 的地址，操作的就是同一个空间
+// 无需复制，省去复制一份的空间和时间
+vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
+{
+    // 定义存储结果的 vector
+    vector<int> C;
+    
+    // 记录进位，取值为 0 或 1，0 表示没有进位，1 表示有进位
+    // 同时还用于记录每一位计算后的中间结果
+    int t = 0;
+    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
+    {
+        // 每次 t += A[i] 或者 B[i]，都会加上 t，t 表示进位
+        // 如果有进位就相当于 + 1，没有进位就相当于没加
+        
+        // 如果 A[i] 这一位有数字，就加上
+        if (i < A.size()) t += A[i];
+        // 如果 B[i] 这一位有数字，就加上
+        if (i < B.size()) t += B[i];
+        
+        // 如果 t >= 10 表示有进位，就把 t 的个位数存入 vector，进位加到高位上，
+        //      同时 t /= 10 -> t = 1，表示有进位
+        // 如果 t < 10 就表示没有进位，直接把个位数 t 存入 vector
+        //      同时 t /= 10 -> t = 0，表示没进位
+        C.push_back(t % 10);
+        t /= 10;
+    }
+    
+    // 如果最高位求和之后有进位，则把进位 1 加入到 vector 中
+    if (t) C.push_back(1);
+    
+    return C;
+}
+
+int main()
+{
+    // 用来读入两个大整数
+    string a, b;
+    // 定义两个向量用来分别存储两个大整数的每一位数
+    vector<int> A, B;
+    
+    cin >> a >> b;
+    // 将两个大整数的每一位从低位到高位依次加入到 vector 中
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
+    
+    // auto 是类型推断，通过返回值的类型而确定，此处为 vector<int>
+    // C 就是 A + B 的结果
+    auto C = add(A, B);
+    
+    // 输出结果
+    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
+    
+    return 0;
+}
+```

AcWing 算法基础课/第一章 基础算法/04_高精度/792. 高精度减法.md

@@ -0,0 +1,192 @@
+### 题目描述
+给定两个正整数（不含前导 $0$），计算它们的差，计算结果可能为负数。
+
+#### 输入格式
+
+共两行，每行包含一个整数。
+
+#### 输出格式
+
+共一行，包含所求的差。
+
+#### 数据范围
+
+$1 \le 整数长度 \le 10^5$
+
+#### 输入样例：
+
+    32
+    11
+
+
+#### 输出样例：
+
+    21
+
+---
+### 算法
+
+高精度减法模板题
+
+时间复杂度: $O(n)$，$n$ 是两个数字的长度最大值。
+
+空间复杂度: $O(n)$
+#### C++ 代码
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+using namespace std;
+
+// A >= B ?
+bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B)
+{
+    if (A.size() > B.size()) return true;
+    else if (A.size() < B.size()) return false;
+    else {
+        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) // 从高位到低位比较
+            if (A[i] != B[i])
+                return A[i] > B[i];
+        return true; // 两个数相等
+    }
+}
+
+// 保证 A > B
+vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B)
+{
+    vector<int> C;
+    int t = 0;
+    
+    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ) {
+        t = A[i] - t;
+        if (i < B.size()) t -= B[i];
+        C.push_back((t + 10) % 10);
+        if (t < 0) t = 1; // 如果 t 小于说明有借位，则 t 赋值为 1
+        else t = 0;
+    }
+    
+    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去除前导 0
+    return C;
+}
+
+int main()
+{
+    string a, b;
+    cin >> a >> b;
+    
+    vector<int> A, B;
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
+    
+    vector<int> C;
+    string res;
+    if (cmp(A, B)) { // A 大于等于 B
+        C = sub(A, B);
+    } else {
+        C = sub(B, A);
+        printf("-");
+    }
+    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) res += to_string(C[i]);
+    cout << res << endl;
+    
+    return 0;
+}
+```
+注释版
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+using namespace std;
+
+// 判断 a >= b
+bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
+{
+    // 如果向量 A 的元素个数大于向量 B 的元素个数 -> a > b
+    if (A.size() > B.size()) return true;
+    // 如果向量 A 的元素个数小于向量 B 的元素个数 -> a < b
+    else if (A.size() < B.size()) return false;
+    // 如果向量 A 的元素个数等于向量 B 的元素个数 有可能 a = b
+    else // A.size() == B.size()
+    {
+        // 从数字的高位依次向低位进行比较
+        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
+            // 如果每一位不相等，比较大小
+            if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
+        // 如果两个数相等，返回 true
+        return true;
+    }
+}
+
+// C = A - B
+// &：表示传入的是原 vector 的地址，操作的就是同一个空间
+// 无需复制，省去复制一份的空间和时间
+vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
+{
+    // 定义存储结果的 vector
+    vector<int> C;
+
+    // 记录借位，取值为 0 或 1，0 表示没有借位，1 表示有借位，借 1 相当于 + 10
+    // 同时还用于记录每一位计算后的中间结果
+    int t = 0;
+    // 因为 A.size() >= B.size()，所以只需判断 i < A.size() 即可
+    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
+    {
+        // 先计算 A[i] - 借位 的结果
+        t = A[i] - t;
+        // 判断 B[i] 是否还有值，有值就相减
+        if (i < B.size()) t -= B[i];
+
+        /*
+         * 可以简化为 C.push((t + 10) % 10)
+         */
+        // 有借位，+ 10 后再存
+        if (t < 0) C.push_back(t + 10);
+        // 没借位直接存
+        else C.push_back(t);
+
+        // 记录每次计算后是否有借位
+        // 有借位
+        if (t < 0) t = 1;
+        // 没借位
+        else t = 0;
+    }
+
+    // 如果计算结果出现类似 003，需要删除前导 0，才能��到正确的结果
+    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); 
+
+    return C;
+}
+
+int main()
+{
+    // 用来读入两个大整数
+    string a, b;
+    // 定义两个向量用来分别存储两个大整数的每一位数
+    vector<int> A, B;
+
+    cin >> a >> b;
+    // 将两个大整数的每一位从低位到高位依次加入到 vector 中
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
+
+    // auto 是类型推断，通过返回值的类型而确定，此处为 vector<int>
+    // 如果向量 A 表示的数 a > 向量 B 表示的数 b，直接计算 A - B
+    if (cmp(A, B)) 
+    {
+        auto C = sub(A, B);
+        // 输出结果
+        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
+    }
+    // 否则，计算 B - A，输出时添一个负号即可
+    else
+    {
+        auto C = sub(B, A);
+        // 输出结果
+        printf("-");
+        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
+    }
+
+    return 0;
+}
+```