MAXimal

��: 6 Sep 2011 1:03
��: 16 Nov 2011 23:48

�� [��][��]

Heavy-light ��

Heavy-light �� — �� , �� , �� �� .

�� �� �� — �� . �� , �� -�� . �� $(a,b)$ , �� $a$ � $b$ — �� , � �� $a$ � $b$ .

��

��, �� $G$ � $n$ ��, �� .

�� , �� ��  �� , �� $v$ ��, �� $v$ � ��, �� $\log n$ ��. �� , �� .

��, �� , �� "�� -�� $a$ � $b$ " � �� "�� -�� $[l;r]$ $k$ -�� ".

�� heavy-light ��

�� $v$ �� $s(v)$ (�.�. �� $v$ , �� ).

��, �� , �� -�� $v$ . �� $(v,c)$ ��, �� $c$ ��, ��:

$s(c) \ge \frac{ s(v) }{ 2 } ~~~~ \Leftrightarrow [...]$

�� ��. ��, �� $v$ �� (�.�. � �� $v$ �� $s(v)/2$ , �� $v$ �� $2 \cdot s(v) / 2 + 1 > s(v)$ , �.�. �� ).

�� �� �� . �� , �� , � �� , �� . � �� — ��, �� heavy-light ��.

��

��-��, ��, �� ��. � �� , �� -�� , �� , �� -�� , �� .

��-��, ��, �� , �� �� $\log n$ ��. � �� , �� :

$s(c) < \frac{ s(v) }{ 2 } ~~~~ \Leftrightarrow ~~[...]$

�� , �� $\log n$ �� . �� (�.�. �� , �� , �� ; � �� ).

��, �� $\log n$ ��, �� .

��

�� heavy-light �� ��-�� �� (� �� -��). �� , �� — �� , �� .

�� , �� heavy-light ��.

�� �� , �� , �� .

��

�� , �� -�� . �� $(a,b)$ , �� $a$ � $b$ — �� , � �� $a$ � $b$ .

�� heavy-light ��. �� , �� $O (\log n)$ . �� heavy-light �� $n-1$ , �� $O(n)$ , �� .

��, �� $(a,b)$ �� $l$ �� (��, �� ). �� : $(a,l)$ � $(b,l)$ , �� : ��, � �� , �� , �� -�� , �� , � �� , � �� , �� , �� $l$ .

�� , ��, ��, $a$ � $l$ �� — �� , � �� .

�� , � �� $O (\log n)$ ��, � �� /�� (�� /�� ).

�� $O (\log^2 n)$ �� .

�� , �� $O (n \log n)$ — �.�. �� , �� $l$ .

��

�� , �� -�� . �� $(a,b)$ , �� $a$ � $b$ — �� , � �� $a$ � $b$ . �� , �� , �� .

�� heavy-light ��, �� (�� , �� ), �� �� .

�� , �� LCA �� — �� LCA �� $2^k$ -�� , �� .

�� — �� , � �� . �� . (� �� — �� , �� .)

�� $O (\log n)$ �� .

��

�� , �� . �� $(a,b,c)$ , �� $a$ � $b$ — �� , $c$ — ��, �� , �� $a$ � $b$ �� $c$ . �� , �� .

�� — �� heavy-light ��.

�� $(a,b)$ �� $(a,l)$ � $(b,l)$ , �� $l$ — �� $a$ � $b$ (��, ��, �� ), � �� — � $O (\log n)$ �� .

�� $O (\log^2 n)$ �� .

�� online judges

�� , �� , �� heavy-light ��: